Хто из видатних математиків займався системами лінійних рівнянь?

В наш час алгебра – одна з найважливіших частин математики, яка знаходить застосування не лише у суто теоретичних, але і в практичних галузях науки.

Методи розв'язання рівнянь були відомі ще у II тисячолітті до н. е. переписувачам стародавнього Єгипту (проте вони не застосовували буквеної символіки). У збережених до наших днів математичних папірусах є не тільки задачі, що приводять до рівнянь першої степені з одним невідомим, а й задачі, що приводять до рівнянь виду aх² = b (квадратне рівняння).

Ідея відмови від геометричного трактування з'явилася у Діофанта Олександрійського, який жив у III ст. У його книзі «Арифметика» з'являється буквена символіка і спеціальні позначення для степенів аж до 6-го степеня. Були у нього і позначення для від'ємних степенів, від'ємних чисел, а також знак рівності (особливого знаку для додавання ще не було), стислий запис правил множення додатних і від'ємних чисел. На подальший розвиток алгебри сильний вплив мали досліджені Діофантом задачі, що приводять до складних систем алгебраїчних рівнянь, у тому числі до систем, де кількість рівнянь була меншою кількості невідомих. Для таких рівнянь Діофант шукав лише додатні раціональні розв'язки.

З VI ст. центр математичних досліджень переміщається в Індію, Китай, країни Близького Сходу та Середньої Азії.

Китайські вчені розробили метод послідовного виключення невідомих для розв'язання систем лінійних рівнянь, дали нові методи наближеного розв'язку рівнянь вищих степенів.

Індійські математики використовували від'ємні числа, вдосконалили буквену символіку.

Однак лише в працях вчених Близького Сходу та Середньої Азії алгебра оформилася у самостійну галузь математики, що займається розв'язком рівнянь. У IХ ст. узбецький математик і астроном Мухаммед аль-Хорезмі написав трактат «Китаб аль-джебр валь-мукабала», де дав загальні правила для розв'язання рівнянь першого степеня.

Слово «аль-джебр» (відновлення), від якого нова наука отримала свою назву, означало перенесення від'ємних членів рівняння з однієї частини в іншу з зміною знака.

Поступово розширювався запас чисел, з якими можна було виконувати дії. Завоювали права громадянства від'ємні числа, потім - комплексні, вчені стали вільно застосовувати ірраціональні числа. При цьому виявилося, що, попри таке розширення запасу чисел, раніше встановлені правила алгебраїчних перетворень зберігають свою силу. Нарешті, Декарту вдалося звільнити алгебру від невластивої їй геометричної форми. Все це дозволило розглядати питання розв'язку рівнянь в самому загальному вигляді, застосовувати рівняння до розв'язання геометричних задач. Наприклад, задача про знаходження точки перетину двох прямих звелася до розв'язку системи рівнянь, яким задовольняли точки цих прямих. Такий метод розв'язку геометричних задач отримав назву аналітичної геометрії

Карл Гаусс – видатний
німецький математик, жив у ХVІІІ –
ХІХ століттях.
У три роки він умів читати ,
писати і рахувати, навіть виправляв
помилки батька під час розрахунків.
Згідно легенди, шкільний
учитель математики, щоб зайняти
дітей на тривалий час, запропонував
їм полічити суму натуральних чисел
від 1 до 100. Малий Гаусс помітив,
що суми доданків із протилежних
кінців рівні: 1 + 100 = 101; 2 + 99 =
101 і т.д., миттєво отримав результат
50 х 101 = 5050

Г.Крамер народився у сім’ї франко-мовного лікаря. З
ранього дитинства показав великі здібності у області
математики. У 18 років захистив дисертацію. У 20-річному віці
Крамер виставив свою кандидатуру на вакантну посаду
викладача на кафедрі  Женевського університету.
Метод Крамера – один із основних методів розв’язування
системи лінійних рівнянь. Його метод дозволяє розв’язувати
більш складні системи лінійних рівнянь.

Як розв'язувати системи лінійних рівнянь з двома змінними?

Означення. Якщо два невідомих зв’язані не одним, а двома рівняннями, то ці рівняння складають систему лінійних рівнянь з двома змінними.

Розв'язком системи рівнянь з двома змінними називається пара чисел, при яких кожне рівняння системи перетворюється на правильну числову рівність.

Розв’язати систему рівнянь означає знайти всі її розв’язки або довести, що система розв’язків не має.

Записуючи систему двох рівнянь, ці два рівняння об’єднують фііурною дужкою.

Приклад.

Дві системи рівнянь називаються рівносильними, якщо кожна з них має ті самі розв’язки, що й інша.

Системи лінійних рівнянь з двома змінними розв’язуються одним із трьох способів:

  Графічно — в одній системі координат будуються графіки двох рівнянь, і координати точки перетину графіків відповідають кореням рівнянь.

Способом підстановки — в одному рівнянні виражають перше невідоме через друге (або навпаки — друге через перше), а потім його значення підставляють у друге рівняння, дістаючи друге рівняння як рівняння з одним невідомим.

 Способом алгебраїчного додавання — в обох рівняннях, використовуючи основні властивості рівнянь, урівнюються коефіцієнти при одному з невідомих так, що вони мають протилежні знаки (знаки «+> і«-») і однакові чисельно. Рівняння почленно додаються і сума коефіцієнтів при одному з невідомих перетворюється на нуль, тим самим перетворюючи на 0 весь одночлен.

Записавши нове рівняння (суму системи рівнянь), ми одержуємо лінійне рівняння з одним невідомим, розв’язуючи яке, знаходимо його корінь. Це числове значення невідомого підставляємо в будь-яке з двох рівнянь і обчислюємо числове значення другого невідомого.

Усі три способи розв’язування рівнянь рівноцінні але кожний має свої особливості:

 Графічний спосіб 

 найбільш наочний, але має й найбільші похибки при обчисленнях, оскільки точність визначення координат точки залежить від масштабу зображення. Особливо складним є розв’язування систем, коли коефіцієнти або корені рівнянь — дробові числа.

Спосіб підстановки 

найбільш універсальний з усіх способів розв’язування лінійних рівнянь з двома невідомими. Він використовується

практично для всіх типів систем рівнянь (цілих і дробових), але часто призводить до складних обчислень при великих значеннях коефіцієнтів при невідомому. Цей спосіб застосовують найчастіше, якщо хоча 6 при одному з невідомих коефіцієнт дорівнює 1 або -1.

Спосіб алгебраїчного додавання 

часто використовується тоді, коли коефіцієнти при одному з невідомих чисельно рівні або їх можна звести до однакової числової величини в рівносильному рівнянні без складних обчислень.

Скільки розвязків може мати система лінійних рівнянь?

Рівняння виду ax+by=c, де a,b,c - коефіцієнти; x,y - змінні, називається лінійним рівнянням з двома змінними x і y. Якщо a≠0 і b≠0, його називають рівнянням першого степеня з двома змінними. 

Пара значень змінних, яка задовольняє рівняння ax+by=c, називається розв'язком цього рівняння.

Наприклад :

5x+3y=21⇒x=0, y=7 - розв'язки рівняння.

Розглянемо рівняння 3x-2y=6. Надавши змінній x значень 0, 1, 2, 3, ..., знайдемо відповідні значення змінної у. Матимемо розв'язки даного рівняння: (0; -3), (1; -1,5), (2; 0), (3; 1,5)… 

Якщо на координатній площині позначити точки, що відповідають цим парам, виявиться, що всі вони розміщені на одній прямій (рис. 1).

  

Цю пряму називають графіком (графік - graph) даного рівняння. Графік кожного рівняння першого степеня з двома змінними - пряма.  

Якщо потребується знайти спільні розв'язки двох чи кількох рівнянь, то говорять, що ці рівняння утворюють систему. 

Розв'язком системи рівнянь називають спільний розв'язок усіх її рівнянь. 

Наприклад

Розв'язувати системи рівнянь можна графічним способом. 

Розв'яжемо, наприклад, систему

 

Для цього побудуємо на одній координатній площині графіки обох її рівнянь (рис. 2). Побудовані графіки перетинаються в точці А(3; 2). Тому пара чисел (3; 2) - єдиний розв'язок даної системи рівнянь.

                        Рисунок 2 

Щоб розв'язати систему рівнянь способом підстановки (метод під-становки - substitution method), треба: 

а) виразити з якого-небудь її рівняння одну змінну через другу; 

б) підставити в інше рівняння системи замість цієї змінної здобутий вираз; 

в) розв'язати утворене рівняння з однією змінною; 

г) знайти відповідне значення другої змінної.

Щоб розв'язати систему методом додавання потрібно: 

а) зробити коефіцієнти при одній змінній у першому і другому рів-няннях протилежними; 

б) почленно додати ліві і праві частини рівнянь; 

в) розв'язати утворене рівняння з однією змінною; 

г) знайти відповідне значення другої змінної.