Як розв'язувати системи лінійних рівнянь з двома змінними?

Означення. Якщо два невідомих зв’язані не одним, а двома рівняннями, то ці рівняння складають систему лінійних рівнянь з двома змінними.

Розв'язком системи рівнянь з двома змінними називається пара чисел, при яких кожне рівняння системи перетворюється на правильну числову рівність.

Розв’язати систему рівнянь означає знайти всі її розв’язки або довести, що система розв’язків не має.

Записуючи систему двох рівнянь, ці два рівняння об’єднують фііурною дужкою.

Приклад.

Дві системи рівнянь називаються рівносильними, якщо кожна з них має ті самі розв’язки, що й інша.

Системи лінійних рівнянь з двома змінними розв’язуються одним із трьох способів:

  Графічно — в одній системі координат будуються графіки двох рівнянь, і координати точки перетину графіків відповідають кореням рівнянь.

Способом підстановки — в одному рівнянні виражають перше невідоме через друге (або навпаки — друге через перше), а потім його значення підставляють у друге рівняння, дістаючи друге рівняння як рівняння з одним невідомим.

 Способом алгебраїчного додавання — в обох рівняннях, використовуючи основні властивості рівнянь, урівнюються коефіцієнти при одному з невідомих так, що вони мають протилежні знаки (знаки «+> і«-») і однакові чисельно. Рівняння почленно додаються і сума коефіцієнтів при одному з невідомих перетворюється на нуль, тим самим перетворюючи на 0 весь одночлен.

Записавши нове рівняння (суму системи рівнянь), ми одержуємо лінійне рівняння з одним невідомим, розв’язуючи яке, знаходимо його корінь. Це числове значення невідомого підставляємо в будь-яке з двох рівнянь і обчислюємо числове значення другого невідомого.

Усі три способи розв’язування рівнянь рівноцінні але кожний має свої особливості:

 Графічний спосіб 

 найбільш наочний, але має й найбільші похибки при обчисленнях, оскільки точність визначення координат точки залежить від масштабу зображення. Особливо складним є розв’язування систем, коли коефіцієнти або корені рівнянь — дробові числа.

Спосіб підстановки 

найбільш універсальний з усіх способів розв’язування лінійних рівнянь з двома невідомими. Він використовується

практично для всіх типів систем рівнянь (цілих і дробових), але часто призводить до складних обчислень при великих значеннях коефіцієнтів при невідомому. Цей спосіб застосовують найчастіше, якщо хоча 6 при одному з невідомих коефіцієнт дорівнює 1 або -1.

Спосіб алгебраїчного додавання 

часто використовується тоді, коли коефіцієнти при одному з невідомих чисельно рівні або їх можна звести до однакової числової величини в рівносильному рівнянні без складних обчислень.